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一个顶角为90°的锥状体雪堆融化模型问题的解答 
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一个顶角为90度的锥体状雪堆,其体积融化的速率与锥面面积s成 正比,比例系数为k>0。假设雪堆在融化过程中始终保持锥状。已知高为h0 的雪堆在开始融化的1小时内,融化其体积的37/64,问雪堆全部融化需要多 少小时?
IamIORI
最佳答案 - 由投票者2008-04-30 17:32:25选出
我认为锥面面积s是指不含底面的表面积部分。
设此锥体的高为h，
则：
s=(1/2)*(√2π)*(√2h)^2
（因为此锥体展开的圆心角为√2π，半径为√2h）
V=(1/3)*πh^3
那么s与体积V的关系为：
s=((18√2π)^(1/3))*(V^(2/3))
为表述的方便起见，设(18√2π)^(1/3)=C，则：
s=CV^(2/3)
由题意，其体积融化的速率与锥面面积s成正比k>0，所以
-dV/dt=ks=kCV^(2/3)
解此方程得：
V(t)=[(V0-kCt)/3]^3
代入初始条件得：（设时间单位为小时）
V(1)=[(V0-kC)/3]^3=(1-37/64)V=(27/64)V
所以V0=kC+(9/4)V^(1/3)
雪堆全部融化，即V(t)=0
那么
t
=V0/(kC)
=1+[(9V^(1/3))/(4kC)]
这里的V是指高为h0的雪堆的体积，算一下，得：
V=(1/3)π(h0)^3
代入t的结果，得到最终的答案为：
t=1+[(0.5303300858899)*h0/k]
P.S.一下，从量纲的角度分析，dV/dt=ks
所以m^3/s=[k]*m^2，所以k的单位应该是与速度一样的吧(米/秒)，
如果k有具体的值，别忘将它的单位化成(米/小时)。
